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Oggetto:
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Meccanica Analitica

Oggetto:

Analytical Mechanics

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0163
Docenti
Prof. Claudia Maria Chanu (Titolare del corso)
Prof. Marcella Palese (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Algebra lineare, calcolo differenziale per funzioni a più variabili, elementi di geometria differenziale, nozioni fondamentali di meccanica prevalentemente fornite dal corso di meccanica razionale


Linear algebra, differential calculus for functions of several variables, basic topics in differential geometry and mechanics, studied in Rational Mechanic course.

Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti strumenti di carattere geometrico, provenienti dalla geometria differenziale, simplettica e Riemanniana utili per affrontare da un punto di vista avanzato lo studio di sistemi dinamici, in particolare nella formulazione Hamiltoniana. Verranno ripresi gli oggetti geometrico differenziali fondamentali per lo studio della meccanica e le loro proprietà e introdotti gli enti fondamentali di geometrica simplettica. Sarà specialmente approfondito lo studio del caso di sistemi Hamiltoniani definiti su fibrati cotangenti di varietà Riemanniane.

 

L'insegnamento rivisita, a un livello più astratto,  alcuni argomenti già noti  per rafforzare le conoscenze di base e promuovere un maggiore livello di astrazione; inoltre presenta alcuni argomenti avanzati e collegati a temi di ricerca attuali, fornendo conoscenze specialistiche utili per l'avviamento alla ricerca e per l'applicazione a problemi della Fisica.

The aim of this course is to provide the students with tools of geometric nature -- coming from differential, symplectic and Riemannian geometry -- which are useful to deal with the study of dynamical systems, in particular in the Hamiltonian formulation, from an advanced point of view. Differential geometrical objects that fundamental for the study of mechanics and their properties will be considered. The basic structures of symplectic geometry will be introduced introduced. It will be thoroughly studied the case of Hamiltonian systems defined on cotangents bundles of Riemannian manifolds.

During the lectures, some topics already known are revisited at a more abstract level, in order to enhance  basic knowledge and foster a higher abstraction  level. Moreover, some advanced topics are presented, which are linked to current research in the area, and are useful for applications to Physics, as well as for introducting to research in mathematical physics.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Capacità lavorare con campi di vettori, forme differenziali, campi di tensori, metriche, connessioni utilizzando le proprietà della geometria simplettica e Riemanniana nello studio di sistemi Hamiltoniani finito dimensionali.

The student will improve his hability to deal with vector fields, differential forms, tensor fields, metric tensor fields and connections and to use symplectic and Riemannian geometric properties for the study of finite dimensional Hamiltonian systems

Oggetto:

Programma

Geometria simplettica su spazi vettoriali e varietà
Distribuzioni di sottospazi e applicazioni del teorema di Frobenius
Trasformazioni canoniche
Sistemi Hamiltoniani su varietà simplettiche
Sottovarietà isotrope, coisotrope e Lagrangiane
Distribuzione caratteristica e riduzione simplettica
Applicazione a integrali primi e vincoli
Cenni di gruppi di Lie, azioni su varietà e algebre di Lie
Equazione di Hamilton-Jacobi e separazione delle variabili

Symplectic geometry on vector spaces and manifolds
Distributions of subspaces and applications of Frobenius theorem
Canonical transformations
Hamiltonian systems on a symplectic manifolds
Isotropic, Coisotropic and Lagrangian submanifolds
Characteristic distributions and presymplectic reduction
Applications to first integrals and constraints.
Review of Lie groups, actions of Lie groups on manifolds, Lie algebras.
Hamilton Jacobi equations and separation of variables

Oggetto:

Modalità di insegnamento


Ampio spazio verrà dato ad esempi più o meno complessi e ad applicazioni, talvolta teoriche, dei concetti introdotti. Spesso gli esempi presentati saranno lasciati come esercizi che lo studente è invitato ad affrontare autonomamente,  utilizzando anche software di calcolo simbolico per esplicitare i risultati.

Emergenza COVID: l'erogazione dell'insegnamento e lo svolgimento dell'esame saranno in presenza. 
Se lo studente rientra nelle deroghe previste, potrà comunque chiedere di svolgere l'esame a distanza.

Several examples  and applications (sometime dealing with theorical aspects)  will presented and proposed as exercices to the students,  also to improve the use of symbolic software to determine explicit results.

COVID: if no mobility restrictions are in place, the course as well as the exam presentation will be given at the Departement. If the student ask to (and it will be legally possible) the exam can be given through the web.

 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale con voto in trentesimi.  Le domande d'esame riguarderanno aspetti teorici e/o possibili applicazioni degli argomenti trattati nel corso. Sarà data allo studente la possibilità di sostenere una parte dell'esame orale discutendo un argomento a sua scelta approfondito autonomamente. Grande importanza viene attribuita alla capacità dello studente di esprimersi in modo matematicamente rigoroso.

Oral examination with mark out of 30. Questions will cover both theorical and applicative aspects of the topics presented in the course. The students can begin the exam by presenting a topic of their choice, which has been developped by themselves.   An important parameter in the evaluation will be clear and rigorous exposition.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Foundations of Mechanics
Anno pubblicazione:  
1978
Editore:  
Benjamin
Autore:  
Abraham Ralph H. Marsden Jerrold E.
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Mathematical methods for classical mechanics
Anno pubblicazione:  
1989
Editore:  
Springer New York
Autore:  
Arnold
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Altro
Titolo:  
Models of Mathematical Physics
Descrizione:  
Dispense del prof Sergio Benenti disponibili in .pdf a richiesta degli studenti
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory
Anno pubblicazione:  
1992
Editore:  
Springer New York
Autore:  
Thirring Walter E.
ISBN  
Oggetto:


Ulteriore materiale per specifici approfondimenti sarà consigliato durante il corso.

 

Additional material for specific in-depth study will be suggested during the course.



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Note


Possibilità di erogare il corso in lingua inglese, su richiesta degli studenti. Contattare il docente per concordare la data dell'esame.

 

Emergenza COVID: le lezioni si terranno in presenza e in modalità sincrona per gli studenti che non possono venire in presenza.
Verranno registrare e messe a disposizione durante il corso.
e attività potranno essere anche organizzate in presenza ma sempre disponibili a distanza.


COVID: lectures will be in presence, and in streaming through webex for students who are not able to come to the Department; moreover, lectures will be recorded and made available through the web.


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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 15:53