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Oggetto:
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Analisi Superiore

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Advanced Analysis

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Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
MFN0426 (coorte 2019) - MAT0181 (coorte 2020)
Docenti
Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili.

Classical integral and differential calculus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti una trattazione della trasformata di Fourier, con applicazioni a diversi spazi funzionali, di approfondire il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue. Vengono introdotti gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz.  Si definiscono i moltiplicatori di Fourier e si studiano le loro principali proprietà, con applicazione ai problemi di Cauchy per l'equazione di Schrödinger, del calore e delle onde. L'insegnamento si propone inoltre di trattare la classe delle funzioni assolutamente continue, il calcolo differenziale in spazi di Banach e le nozioni fondamentali relative agli spazi di Sobolev, con applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari e nonlineari.

 

The teaching aims to study  the Fourier transformation on the Schwartz class and its dual space of tempered distribution, to deepen the properties  of the convolution product on various function and distribution spaces. Locally convex topological vector spaces  are also studied, in particular the Fréchet spaces, treating the fundamental example of the Schwartz class. Fourier multipliers are introduced and studied on different function spaces, with application to Schrödinger , heat and wave equations.

The teaching provides the basic concepts of the theory of absolutely continuous functions, of the differential calculus in Banach spaces, of the theory of Sobolev spaces and it provides some applications to the study of linear and nonlinear boundary value problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier, degli spazi topologici localmente convessi, della classe di Schwartz e del suo duale topologico, dei moltiplicatori di Fourier e di alcune applicazioni  alle equazioni alle derivate parziali. Conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach e delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

Knowledge of Fourier analysis, locally convex topological vector spaces, Schwartz class, tempered distributions, Fourier multipliers, with applications to partial differential equations. Knowledge of differential calculus in Banach spaces and of the theory of Sobolev spaces

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Modalità di insegnamento

A partire dal 21-9 e per tutto il mese di ottobre l'insegnamento prevede il seguente calendario:   lunedì e venerdì dalle 10,30 alle 12,30: Prof.ssa Cordero (da remoto con la modalità webex - le lezioni saranno anche rese disponibili su moodle) martedì dalle 8,30 alle 10,30: Prof.ssa Capietto (in presenza nell'Aula S di Palazzo Campana - le lezioni saranno registrate e rese disponibili su moodle).   Per ogni informazione si faccia riferimento alla pagina moodle dell'insegnamento. Si raccomanda di consultare frequentemente la pagina moodle dell'insegnamento, sulla quale saranno pubblicate eventuali modifiche delle modalità di erogazione dell'insegnamento dovute all'emergenza Covid. Si ricorda agli studenti che devono registrarsi all'insegnamento tramite la pagina campusnet dell'insegnamento. Gli studenti registrati riceveranno una password con la quale potranno accedere alla pagina moodle dell'insegnamento.  

 

 

Starting from 21-9 and for the whole month of October, the teaching 
will have the following calendar: Monday and Friday from 10.30 to 12.30: Prof.ssa Cordero (remotely with
via webex - the lessons will also be made available on moodle) Tuesday from 8.30 to 10.30: Prof.ssa Capietto (in presence in Aula S
of Palazzo Campana - the lessons will be recorded and made available on moodle). For any information, please refer to the teaching's moodle page.
It is recommended that you frequently consult the teaching's moodle page,
on which any changes to the teaching delivery methods due to the Covid
emergency will be published. Students are reminded that they must register for the teaching via
the teaching campusnet page. Registered students will
receive a password for the access to the moodle page of the teaching.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nell'insegnamento. Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Il voto è espresso in trentesimi.

Eventuali modifiche alle modalità d'esame fissate per giugno, luglio e settembre 2020 (si veda la pagina 2019-20 dell'insegnamento) saranno comunicate su questa pagina appena possibile. 

 

The exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the teaching. There may be questions that require the execution of exercises. The score is expressed as x/30.

Any change in the exam rules described at the 2019-20 page of the present teaching will be
written in this page as soon as possible.

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Programma

Modulo A (prof. E. Cordero)  16 ore = 2 cfu

- Spazi vettoriali topologici localmente convessi, spazi di Fréchet

- La classe di Schwartz: proprietà principali, relazioni con gli spazi di Lebesgue

- Lo spazio delle distribuzioni temperate: proprietà principali

- Azione della trasformata di Fourier sulla classe di Schwartz e sullo spazio delle distribuzioni temperate (duale topologico)

- Approfondimento sul prodotto di convoluzione nelli spazi di Lebesgue: la disuguaglianza di Young, casi particolari

 

Modulo B (prof. S. Terracini)  16 ore = 2 cfu

- Introduzione agli spazi di Sobolev in più variabili: 

- definizione, principali proprietà, densità delle funzioni regolari, estensione

- teoremi di immersione, Disuguaglianza di Poincaré, Disuguaglianze di Sobolev (cenni)

- Risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo -div(grad u)=f con condizioni nulle al bordo
 

Modulo C (prof. A. Capietto)  16 ore = 2 cfu

- Funzioni assolutamente continue

- Lo spazio di Sobolev $H^1(]0,1[)$

- Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni, teorema della media, teorema di inversione locale

 

 

Module A (prof. E. Cordero)  16 hours = 2 cfu

- Locally compact topological vector spaces. Fréchet spaces

- The Schwartz class: main properties, relations with Lebesgue spaces

- The space of tempered distributions: main properties

- Action of the Fourier transform on the Schwartz class and on its dual space of tempered distributions

- Young's convolution inequality, special cases

 

 

Module B (prof. S. Terracini)  16 hours = 2 cfu

- An introduction to Sobolev spaces in several variables

- Definition, main properties, density of regular functions, extension

- Immersion theorems, Poincaré inequality, Sobolev inequalities (hints)

-Resolution of the homogeneous Dirichlet problem -div (grad u) = f with zero boundary conditions

 

Module C (prof. A. Capietto)  16 hours = 2 cfu

- Absolutely continuous functions 

-  The Sobolev space $H^1(]0,1[)$

- Differential calculus in Banach spaces: definitions, mean value theorem, local inversion theorem

Testi consigliati e bibliografia

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- Dispense fornite dai docenti

- G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

- H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

- L.C. Evans Partial Differential Equations, American Mathematical Society

- A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

- Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale 

- Notes of teachers

- G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

- H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

- A. Ambrosetti - G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis. Cambridge University Press 1993

- Kolmogorov-Fomin: Elements of the theory of functions and functional analysis 

 

 



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Orario lezioni

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Note

E' consentito, previa autorizzazione di tutte le docenti titolari dell'insegnamento da richiedere entro gennaio 2021, ottenere i 6 cfu di questo l'insegnamento utilizzando il (o parte del) programma dell'insegnamento di 9 cfu. Senza previa autorizzazione gli studenti saranno esaminati sul programma dell'insegnamento di 6 cfu.

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Ultimo aggiornamento: 14/12/2020 15:54