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Analisi Superiore

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Advanced Analysis

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Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
MFN0426
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili.

Classical integral and differential calcuslus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions.

Mutuato da
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una trattazione della trasformata di Fourier, con applicazioni a diversi spazi funzionali, di approfondire il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue, di costruire famiglie di funzioni che approssimano l'identità di tale prodotto. Vengono inoltre studiati gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz. Si introducono le proprietà fondamentali della trasformata di Laplace, con applicazione alle equazioni differenziali. Il corso si propone inoltre di trattare il calcolo differenziale in spazi di Banach e le nozioni fondamentali relative agli spazi di Sobolev e di fornire alcune applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari.

 

The course aims to give to students knowledge of the Fourier transform, with applications in various functional spaces, of convolution product on the space of Lebesgue, to build families of functions which approximate the identity of that product. Topological spaces locally convex are also studied, in particular the spaces of Fréchet, treating the fundamental example of the class of Schwartz. We introduce the basic properties of the Laplace transform, with applications to differential equations. The course aims eventually to give students the basic concepts of differential calculus in Banach spaces and of the theory of Sobolev spaces and to provide some applications to the study of linear boundary value problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier e di Laplace, con applicazioni agli spazi di Lebesgue e alle equazioni differenziali. Conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach e delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

Knowledge of Fourier analysis, differential calculus in Banach spaces and of the theory of Sobolev spaces

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Modalità di insegnamento

Lezioni in aula.
Lessons in the classroom

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Il voto è espresso in trentesimi 
The exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the course. There may be questions that require the execution of exercises. The score is expressed as x/30.

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Programma

- La trasformata di Fourier

- Proprietà della trasformata di Fourier sugli spazi di Lebesgue

- Principali proprietà ed operazioni su spazi di Lebesgue

- Spazi vettoriali topologici, spazi di Fréchet, la classe di Schwartz, azione della trasformata di Fourier su tale classe e relazioni con gli spazi di Lebesgue

- La trasformata di Laplace

- Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni e teorema della media.

- Breve introduzione agli spazi di Sobolev: definizione, principali proprietà, immersioni

- Alcuni problemi ai limiti ellittici.

- The Fourier transform

- Action of the Fourier transform on Lebesgue spaces

- Main properties of Lebesgue spaces

- Topological vector spaces. Fréchet spaces. The Schwartz class, action of the Fourier transform on the Schwartz class and relations with Lebesgue spaces

- The Laplace transform

- Differential calculus in Banach spaces: definitions and mean value theorem

- A brief introduction to Sobolev spaces: definition, main properties, embeddings

- Some elliptic boundary value problems

Testi consigliati e bibliografia

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1) Dispense fornite dai docenti

2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale 

1) Notes of teachers

2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis. Cambridge University Press 1993

6) Kolmogorov-Fomin: Elements of the theory of functions and functional analysis 

 

 



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 12/07/2018 16:31