Laurea magistrale in Matematica

Istituzioni di Analisi Matematica

La gran parte dei modelli matematici prevede che si realizzino configurazioni stazionarie o di equilibrio rispetto a funzioni energia o costo. Le geodetiche minimizzano la lunghezza della curva che connette due punti, nello stesso modo in cui le traiettorie minimizzano l'azione Lagrangiana, così come gli autovalori rendono stazionario il quoziente di Reyleigh, e molti altri esempi si possono trovare sia nella matematica che nelle sue applicazioni.
Questo corso si propone di famigliarizzare studenti con gli strumenti del Calcolo delle Variazioni ed i metodi di minimax e di illustrare alcune applicazioni notevoli e non banali: disuguaglianze funzionali, superfici di area minima, problemi semilineari ellittici ed equazione di Schrodinger non lineare, al fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo verso l'analisi non lineari, tema specialistico di grande interesse per le applicazioni soprattutto nelle modelli differenziali non lineari (obiettivo 5) e sono uno strumento indispensabile per la ricerca nell'ambito dell'analisi dei fenomeni non lineari (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni problemi aperti (obiettivo 9).

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura sepcialistica del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione  regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

 

Ci si attende che gli studenti conoscano i principali metodi variazionali e sappiano applicarli a problemi non lineari.

Esame orale sul contenuto del corso

Formula di area e di coarea, disuguaglianza isoperimetrica, disuguaglianza di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, disuguaglianza di Polya-Szego. Richiami sugli spazi di Sobolev.
Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzionali lagrangiani. Il problema dell'esistenza del minimo. Applicazioni: geodetiche minimizzanti, principio di minima azione. Applicazioni alla Teoria Spettrale per gli operatori di Schroedinger: il principio di min-max e le sue conseguenze.

Equazioni semilineari ellittiche. L'approccio variazionale al problema dell'esistenza. Proprieta qualitative delle soluzioni.
Principio del massimo. Teorema di Gidas-Ni-Nirenberg sulla simmetria radiale delle soluzioni positive.
Migliori costanti di immersione: caso critico e sottocritico. Equazione di Schrodinger non lineare. Superfici minime: il problema di Plateau.

M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011

Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011

Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008