- Oggetto:
- Oggetto:
Metodi Variazionali
- Oggetto:
Variational Methods
- Oggetto:
Anno accademico 2017/2018
- Codice dell'attività didattica
- MFN1661
- Docente
- Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Inglese
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Istituzioni di Analisi Matematica. Elementi introduttivi sugli spazi di Sobolev (parte del programma del corso di Analisi superiore).Elements of Measure Theory and Functional Analysis. Basics on Sobolev spaces.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
La gran parte dei modelli matematici prevede che si realizzino configurazioni stazionarie o di equilibrio rispetto a funzioni energia o costo. Le geodetiche minimizzano la lunghezza della curva che connette due punti, nello stesso modo in cui le traiettorie minimizzano l'azione Lagrangiana, così come gli autovalori rendono stazionario il quoziente di Reyleigh, e molti altri esempi si possono trovare sia nella matematica che nelle sue applicazioni.Questo corso si propone di familiarizzare gli studenti con gli strumenti del Calcolo delle Variazioni ed i metodi di minimax e di illustrare alcune applicazioni notevoli e non banali (quali: problema delle geodetiche, problemi ellittici semilineari, equazione di Schrodinger non lineare, : disuguaglianze funzionali, etc.) al fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze.
Questo insegnamento si colloca naturalmente nell'ambito dell'Analisi non lineare e si inserisce bene in molti percorsi di Analisi Matematica, sia monotematici, sia interdisciplinari. Trattando anche di questioni inerenti problemi di natura geometrica e di meccanica quantistica, può essere di utile complemento anche in percorsi di Geometria (Riemanniana in particolare) o di Fisica Matematica.
Il corso è proposto anche agli studenti della Scuola di Dottorato in Matematica Pura e Applicata dell'Università e del Politecnico di Torino.
The major part of mathematical models foresee the realization of stationary or equilibrium configurations with respect to energy or cost functions. Geodesics minimize the length of a curve connecting two points, in the same manner that trajectories minimize the Lagrangian action, eigenvalues are stationary values of the Rayleigh quotient and many other significant examples can be found in Mathematics and its applications.This course is intended to make the students acquainted with the techniques of the Calculus of Variations and minimax methods and to illustrate some relevant and non trivial applications (like geodesic problem, semilinear elliptic problems, nonlinear Schrödinger equation, functional inequalities, etc.) to the aim of constructing non trivial solutions, more and more complex of nonlinear problems of interest in different areas.
The natural context of this course is Nonlinear Analysis. Hence it is well suited in many routes of Mathematical Analysis, both of monothematic kind and in interdisciplinary addresses. Dealing also with issues related to geometric problems and to quantum mechanics, it can be an useful completion also in routes of Geometry (Riemannian) or Mathematical Physics.
This course is offered also to students of the PhD School in Pure and Applied Mathematics of the University and Politecnico of Torino.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Ci si attende che gli studenti conoscano alcuni strumenti classici nello studio di equazioni alle derivate parziali, i principali metodi variazionali e sappiano applicarli a problemi non lineari.Students are expected to know some classical tools used in the study of partial differential equations, the main Variational Methods and to be able to apply the to Nonlinear problems.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni svolte alla lavagna, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La frequenza è facoltativa ma consigliata.The course consists of 48 hours of lectures held at the blackboard. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Attendance is non-obligatory, recommended.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale sul contenuto del corso.Oral exam on the course content- Oggetto:
Programma
Calcolo differenziale in spazi di Banach. Introduzione al Calcolo delle Variazioni con applicazioni: problemi ellittici coercivi, geodetiche. Teoria spettrale e applicazioni al problema agli autovalori per operatori di Schrödinger. Principio del massimo e applicazioni. Simmetrizzazione e riarrangiamenti. Problemi ellittici semilineari. Disuguaglianza isoperimetrica.Il programma dettagliato è riportato nel corso moodle.
Differential calculus in Banach spaces. An introduction to the Calculus of Variations and applications: coercive elliptic problems, geodesics. Spectral theory and applications to the eigenvalue problem for Schrödinger operators. The maximum principle and applications. Symmetrization and rearrangements. Semilinear elliptic problems. Isoperimetric inequality.The detailed program can be found in the moodle platform.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011
- Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011
- Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008
- M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011
- Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011
- Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008
- Oggetto:
Orario lezioni
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Note
Se richieste dagli studenti, variazioni di orario sono possibili, compatibilmente con la disponibilità di aule.If requested by the students, changes in the timetable are possible, depending on the availability of classrooms.- Oggetto:
