Laurea magistrale in Matematica

Metodi Variazionali (DM 270) - a.a. 2013/14

VARIATIONAL METHODS

Anno accademico 2013/2014

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici

Obiettivi formativi

l corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti per lo studio avanzato dell'Analisi Non Lineare e per l'applicazione di metodi analitici a problemi differenziali non lineari di interesse in diversi contesti pplicativi. Le competenze da acquisire riguardano la capacità di affrontare i problemi di Analisi Non Lineare e di applicare metodi di Analisi matematica aal fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze. 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo verso l'analisi non lineari, tema specialistico di grande interesse per le applicazioni soprattutto nelle modelli differenziali non lineari (obiettivo 5) e sono uno strumento indispensabile per la ricerca nell'ambito dell'analisi dei fenomeni non lineari (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni problemi aperti (obiettivo 9).

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura sepcialistica del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione  regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza di alcuni concetti fondamentali del Calcolo delle Variazioni e della Teoria dei Punti Critici infinito dimensionale. Capacità di applicare i metodi astratti nello studio di problemi complessi.

Programma

Spazi di Sobolev. Convessità, semicontinuità, Minimizzazione e applicazioni. Il metodo diretto del Calcolo delle  Variazioni.  Minimizzazione vincolata. Varietà di Nehari. Metodi di minimax: lemmi di deformazione, Teorema del Passo di Montagna e del Punto di Sella. Applicazioni a problemi ellittici semilineari e al problema degli N-corpi.

M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011

Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Dierential Equations, Springer
2011

Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008

Note

METODI VARIAZIONALI, MFN1661, 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante)

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