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Metodi Variazionali

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Variational Methods

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Anno accademico 2020/2021

Codice attività didattica
MFN1661 (coorte 2019) - MAT0211 (coorte 2020)
Docenti
Prof. Marino Badiale (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Istituzioni di Analisi Matematica. Elementi introduttivi sugli spazi di Sobolev (parte del programma del corso di Analisi superiore).
Elements of Measure Theory and Functional Analysis. Basics on Sobolev spaces.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

La gran parte dei modelli matematici prevede che si realizzino configurazioni stazionarie o di equilibrio rispetto a funzioni energia o costo. Le geodetiche minimizzano la lunghezza della curva che connette due punti, nello stesso modo in cui le traiettorie minimizzano l'azione Lagrangiana, così come gli autovalori rendono stazionario il quoziente di Reyleigh, e molti altri esempi si possono trovare sia nella matematica che nelle sue applicazioni.

Questo corso si propone di familiarizzare gli studenti con gli strumenti del Calcolo delle Variazioni ed i metodi di minimax e di illustrare alcune applicazioni notevoli e non banali (quali: problema delle geodetiche, problemi ellittici semilineari, equazione di Schrodinger non lineare, : disuguaglianze funzionali, etc.) al fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze.

Questo insegnamento si colloca naturalmente nell'ambito dell'Analisi non lineare e si inserisce bene in molti percorsi di Analisi Matematica, sia  monotematici, sia interdisciplinari. Trattando anche di questioni inerenti problemi di natura geometrica e di meccanica quantistica, può essere di utile complemento anche in percorsi di Geometria (Riemanniana in particolare) o di Fisica Matematica. 

Il corso è proposto anche agli studenti della Scuola di Dottorato in Matematica Pura e Applicata dell'Università e del Politecnico di Torino.

The major part of mathematical models foresee the realization of stationary or equilibrium configurations with respect to energy or cost functions. Geodesics minimize the length of a curve connecting two points, in the same manner that trajectories minimize the Lagrangian action, eigenvalues are stationary values of the Rayleigh quotient and many other significant examples can be found in Mathematics and its applications.

This course is intended to make the students acquainted with the techniques of the Calculus of Variations and minimax methods and to illustrate some relevant and non trivial applications (like geodesic problem, semilinear elliptic problems, nonlinear Schrödinger equation, functional inequalities, etc.) to the aim of constructing non trivial solutions, more and more complex of nonlinear problems of interest in different areas.

The natural context of this course is Nonlinear Analysis. Hence it is well suited in many routes of Mathematical Analysis, both of monothematic kind and in interdisciplinary addresses. Dealing also with issues related to geometric problems and to quantum mechanics, it can be an useful completion also in routes of Geometry (Riemannian) or Mathematical Physics.

This course is offered also to students of the PhD School in Pure and Applied Mathematics of the University and Politecnico of Torino.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Ci si attende che gli studenti conoscano alcuni strumenti classici nello studio di equazioni alle derivate parziali, i principali metodi variazionali e sappiano applicarli a problemi non lineari.
Students are expected to know some classical tools used in the study of partial differential equations, the main Variational Methods and to be able to apply the  to Nonlinear problems.

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Programma

Principio di Dirichlet. Il problema dell'estensione armonica via principio di Dirichlet. Lemma di regolarità di Caccioppoli-Weyl. Funzionali integrali: condizioni di Carathéodory, buona positura dei funzionali e loro continuità negli spazi Lp. Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per funzionali convessi e coercivi. Derivabilità direzionale dei funzionali integrali. Equazioni di Eulero-Lagrange (forma integrale e forma differenziale). Problema delle geodetiche. Problema di Plateau. Disuguaglianza isoperimetrica (via problemi di Neumann). Il problema agli autovalori per operatori di Schrödinger. Problemi ellittici lineari e alternativa di Fredholm. Caratterizzazione variazionale del primo autovalore di operatori di Schrödinger con condizioni di Dirichlet al bordo. Simmetrizzazione di Schwarz. Disuguaglianza di Polya-Szegö. Disuguaglianza di Faber-Krahn. Principi del massimo e lemma di Hopf. Simmetria radiale di soluzioni positive di problemi ellittici sulla palla con condizioni nulle al bordo. Problemi ellittici semilineari: esistenza di soluzioni via minimizzazione vincolata e teorema del passo montano, identità di Pohozaev e risultati di non esistenza. Equazioni di Schrödinger non lineari. Problemi ellittici a crescita critica.

The Dirichlet principle. The problem of the harmonic extension via the Dirichlet principle. Caccioppoli-Weyl regularity lemma. Integral functionals: Caratheodory conditions, well poseness and continuity in the Lp spaces. The direct method of the Calculus of Variations for convex coercive functionals. Directional derivatives of integral functionals and Euler-Lagrange equations (weak form and differential form). The geodesics problem. The Plateau problem. Isoperimetric inequality (via Neumann map). The eigenvalue problem for Schrödinger operators. Linear elliptic problems and Fredholm alternative. Variational characterization of the eigenvalues. Schwarz symmetrization. Polya-Szegö inequality. Faber-Krahn inequality. Maximum principles and Hopf lemma. Radial symmetry of positive solutions to elliptic problems on the ball with null condition on the boundary. Semilinear elliptic problems: existence results via constrained minimization and the mountain pass theorem; Pohozaev identity and non-existence results. Nonlinear Schrödinger equations. Elliptic problems with critical growth.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni svolte alla lavagna, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La frequenza è facoltativa ma consigliata. 
The course consists of 48 hours of lectures held at the blackboard. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Attendance is non-obligatory, recommended.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame è una prova orale consistente nell’esposizione di argomenti (enunciati, dimostrazioni ed eventuali esempi) richiesti dal docente tra quelli elencati nel programma.  Non sono previsti esercizi. E' possibile sostenere l'esame in inglese.

Nella sessione estiva 2020, l'esame di Metodi variazionali si svolgerà in forma telematica/online, cioè in videoconferenza, su piattaforma Webex. Le date indicate sulla pagina di iscrizione all'esame sono puramente formali. L'esame si terrà all'interno della sessione d'esami in data e orario concordato con i docenti con debito anticipo (primo appello in data compresa tra 8 e 21 giugno; secondo appello in data compresa tra 22 giugno e 31 luglio). Per poter partecipare alla prova d'esame è necessario essere in possesso di un'adeguata connessione alla rete e dispositivo munito di webcam e microfono. Sarà prevista una prova di collegamento in data antecedente a quella concordata per l'esame, in cui verranno dati maggiori dettagli. 

The exam is an oral test, in which the candidate is asked to present some topic (main results, proofs and possible examples) chosen by the professor among those ones listed in the programme. No exercise is expected. It is possible to sit the examination in English. 

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Testi consigliati e bibliografia

  • M. Badiale, E. Serra: Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011
  • H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011
  • B. Dacorogna: Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, 2004
  • M. Struwe: Variational Methods, Springer Verlag, 2008
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Note

AVVISI

11/03/2020: Data la situazione, le lezioni proseguiranno in forma a distanza, con caricamento dei file MP4 e PDF su piattaforma moodle. Verranno caricate tre lezioni a settimana, nel rispetto del calendario programmato. È gradito un feedback sulle lezioni finora svolte così come sono ben accette richieste di chiarimenti o altre osservazioni, sia individualmente via email al docente oppure tramite il forum aperto sul corso moodle. 

5/3/2020: Dato il protrarsi della sospensione delle attività didattiche in presenza, nella settimana dal 9 al 13 marzo il Prof. Caldiroli registrerà ulteriori tre lezioni, che verranno collocate su moodle. In tale settimana non è prevista nessuna lezione del Prof. Badiale.

2/3/2020: Vista la sospensione delle attività didattiche in presenza e sino al suo perdurare, le prime lezioni del Prof. Caldiroli verranno tenute in modalità alternativa. Le registrazioni dei video e audio e i pdf delle lezioni verranno caricati su piattaforma moodle nel corso "metodi variazionali a.a. 2019/20". Tenuto conto che l'attività didattica sarebbe dovuta partire già l'ultima settimana di febbraio, salvo problemi tecnici, dal 3 al 7 marzo verranno registrate quattro lezioni e verranno rese disponibili mediamente una al giorno. 

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
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    Ultimo aggiornamento: 28/07/2020 11:25

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