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Oggetto:
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Metodi Variazionali

Oggetto:

Variational Methods

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0211
Docenti
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Alessandro Iacopetti (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di Istituzioni di Analisi Matematica e nel terzo modulo del corso di Analisi superiore.
Knowledge of the topics covered in the course of Elements of Functional Analysis and in the third module of the course of Advanced Analysis is assumed.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti e alle studentesse gli strumenti matematici noti come “metodi variazionali”, utili per la corretta impostazione di problemi di minimizzazione e ottimizzazione o di alcune classi di equazioni alle derivate parziali con opportune condizioni al bordo. Verrà mostrata e discussa l’efficacia dell’approccio variazionale nella modellizzazione, formalizzazione e risoluzione di vari problemi di natura molto diversa, sia applicativi, in particolare di ambito fisico, sia tratti dalla geometria differenziale. Verranno inoltre presentate alcune tecniche e strumenti della teoria delle equazioni alle derivate parziali (principio del massimo, metodo dei piani mobili).

Questo insegnamento si colloca naturalmente nel campo dell'Analisi non lineare e si inserisce bene in molti percorsi di Analisi Matematica, sia monotematici, sia interdisciplinari. Trattando anche di questioni inerenti problemi di natura geometrica e di meccanica quantistica, può essere di utile complemento anche in percorsi di Geometria (Riemanniana in particolare) o di Fisica Matematica. 

L'insegnamento è proposto anche agli studenti della Scuola di Dottorato in Matematica Pura e Applicata dell'Università e del Politecnico di Torino.

The course aims to provide the students with the mathematical tools known as “Variational methods” and useful useful for the correct setting of minimization and optimisation problems, as well as of some classes of partial differential equations with given boundary conditions. The effectiveness of the variational approach will be shown and discussed for what concerns modelling, formalizing and solving several problems of quite different nature, both in applications (in particular in Physics), and in differential geometry. Some techniques and tools of the theory of PDE's (maximum principle, moving plane method) will be also presented.

The natural context of this course is Nonlinear Analysis. Hence it is well suited in many routes of Mathematical Analysis, both of monothematic kind and in interdisciplinary addresses. Dealing also with issues related to geometric problems and to quantum mechanics, it can be an useful completion also in routes of Geometry (Riemannian) or Mathematical Physics.

This course is offered also to students of the PhD School in Pure and Applied Mathematics of the University and Politecnico of Torino.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza dei principi generali del calcolo delle variazioni e della teoria dei punti critici, in particolare il metodo diretto e il principio di minimax. Capacità di impostare in modo rigoroso un tipico problema di minimizzazione (setting funzionale, energia) e di individuare le caratteristiche e le difficoltà del problema. Capacità di applicare la teoria generale ad alcuni problemi specifici. Conoscenza di alcune tecniche e strumenti della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Knowledge of the general principles of the Calculus of Variations and of the Critical Point Theory, in particular the Direct Method and the Minimax Principle. Ability to rigorously set up a typical minimization problem (functional setting, energy) and to identify the main features and difficulties of the problem. Ability to apply the general theory to some specific problems. Knowledge of some techniques and tools of the theory of partial differential equations.

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Programma

Il problema dell'estensione armonica via principio di Dirichlet. Lemma di regolarità di Caccioppoli-Weyl. Funzionali integrali: condizioni di Carathéodory, buona positura dei funzionali e loro continuità negli spazi Lp. Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per funzionali convessi e coercivi in spazi di Sobolev riflessivi. Derivabilità direzionale dei funzionali integrali. Equazioni di Eulero-Lagrange (forma integrale e forma differenziale). Problema delle geodetiche. Problema di Plateau. Simmetrizzazione di Schwarz. Disuguaglianza di Polya-Szegö. Disuguaglianza di Faber-Krahn. Principi del massimo e lemma di Hopf. Simmetria radiale di soluzioni positive di problemi ellittici sulla palla con condizioni nulle al bordo (metodo dei piani mobili). Problemi ellittici asintoticamente lineari e semilineari: esistenza di soluzioni via minimizzazione vincolata, teorema del passo montano, teorema del punto di sella. Identità di Pohozaev e risultati di non esistenza. Problemi con perdita di compattezza: equazioni di Schrödinger non lineari, problemi ellittici a crescita critica.
The problem of the harmonic extension via the Dirichlet principle. Caccioppoli-Weyl regularity lemma. Integral functionals: Carathéodory conditions, well poseness and continuity in the Lp spaces. The direct method of the Calculus of Variations for convex coercive functionals. Directional derivatives of integral functionals and Euler-Lagrange equations (weak form and differential form). The geodesics problem. The Plateau problem. Schwarz symmetrization. Polya-Szegö inequality. Faber-Krahn inequality. Maximum principles and Hopf lemma. Radial symmetry of positive solutions of elliptic problems on the ball with null boundary condition (moving plane method). Asymptotically linear and semilinear elliptic problems: existence results via constrained minimization, mountain pass theorem and saddle point theorem. Pohozaev identity and nonexistence results. Noncompact variational problems: Nonlinear Schrödinger equations, elliptic problems with critical growth.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico.

Le lezioni si svolgeranno in presenza, salvo aggiornamenti sui provvedimenti adottati da UniTo e disponibili sul sito "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e.

La frequenza è facoltativa ma consigliata. 

ATTENZIONE! Il corso inizierà dopo il terzo modulo di Analisi Superiore, la cui frequenza è fortemente consigliata perché in tale modulo vengono presentati argomenti essenziali per poter seguire efficacemente le lezioni del corso di Metodi variazionali. 

Alcune videolezioni e note manoscritte delle lezioni di anni precedenti sono disponibili sulla pagina moodle del corso.

The course consists of 48 hours of lectures. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar.

Lectures will be held in person, subject to updates on the measures adopted by UniTo and available on the website "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e

Attendance is recommended but not compulsory.

WARNING! The lectures will start after the third module of the course of Advanced Analysis, which is strongly suggested since contains fundamental topics in order to better understand the lectures of Variational Methods.

Some recorded lectures and handwritten lecture notes of the course of previous academic years are available at the Moodle webpage of the course.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame è una prova orale consistente nell’esposizione di argomenti richiesti dal docente tra quelli elencati nel programma. Non sono previsti esercizi. È possibile sostenere l'esame in inglese. Il voto è in trentesimi.

L'esame si svolge in presenza, salvo aggiornamenti sui provvedimenti adottati da UniTo e disponibili sul sito "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e

Agli studenti e alle studentesse che rientrino in una delle condizioni di seguito riportate, autocertificate nella fase di prenotazione all’appello:

  1. residenza fuori Regione
  2. situazione di fragilità
  3. positività al COVID-19

è garantita la possibilità di svolgere l’esame a distanza, secondo una delle modalità previste dall’Ateneo, avuto anche riguardo alle specifiche esigenze degli studenti e delle studentesse con disabilità e con disturbi specifici dell’apprendimento.

The exam is an oral test, in which the candidate is asked to present some topic chosen by the professor among those ones listed in the programme. No exercise is expected. It is possible to sit the examination in English. The score is expressed out of 30.

The exams are to be attended in person, subject to updates on the measures adopted by UniTo and available on the website "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e

To students who fall within one of the following conditions, self-certified in the booking phase of the exam:

  1. residence outside the region
  2. situation of fragility
  3. positivity to COVID-19

the possibility of attending the remote exam is guaranteed, according to one of the methods provided by the University, also having regard to the specific needs of students with disabilities and specific learning disabilities.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Semilinear elliptic equations for beginners
Anno pubblicazione:  
2011
Editore:  
Springer
Autore:  
M. Badiale, E. Serra
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
Anno pubblicazione:  
2011
Editore:  
Springer
Autore:  
H. Brezis
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Variational Methods
Anno pubblicazione:  
2008
Editore:  
Springer
Autore:  
M. Struwe
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Introduction to the Calculus of Variations
Anno pubblicazione:  
2004
Editore:  
Imperial College Press
Autore:  
B. Dacorogna
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

.



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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 25/07/2022 12:37