- Oggetto:
- Oggetto:
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
- Oggetto:
Advanced Probability
- Oggetto:
Anno accademico 2017/2018
- Codice dell'attività didattica
- MFN0513
- Docente
- Prof. Elvira Di Nardo (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
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Un corso di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica. Una discreta capacità nel risolvere problemi di calcolo delle probabilità di livello di base.An undergrauate level class of Probability and good abilities in real analysis are necessary to understand Advanced Probability. Good abilities in elementary probabilistic problem solving are also necessary for the success in this class.
- Propedeutico a
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I corsi di Processi Stocastici, Statistica dei processi stocastici e EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche utilizzano concetti e metodi introdotti in questo corsoStochastic Processes, Statistics for Stochastic Processes and EDS-Stochastic Dfferential Equations make use of concept and tools introduced in this course.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
I temi e gli strumenti presentati sono parte essenziale della formazione di tipo probabilistico statistica dello studente ma sono anche indispensabili per la formazione di un matematico moderno. Lo studente ripensa inizialmente a tematiche già incontrate negli studi triennali affrontandole a un livello più astratto che gli consente poi di arrivare a controllare con competenze alcuni metodi tipici della teoria avanzata del calcolo delle probabilità, utili sia per applicazioni che in vista di attività di ricerca. Con questo corso lo studente rafforza le sue competenze di base, sviluppa un nuovo livello di astrazione, si abitua alla lettura di più testi affrontando tematiche di interesse sia teorico che applicativo. Le eserictazioni mirano a migliorare le capacità di problem solving. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi.
Topics taught in this class are essential tools required to a statistician and a probabilist. They are fundamental for any modern mathematician. Students re-think to subjects of their undergraduate with a different level of abstraction.This new approach allows them to control some advanced methods of probability theory, useful for applications as well as for research.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell'impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali vettori Gaussiani, le attese condizionali, le proprietà di convergenza, le funzioni caratteristiche e le martingale.
Sono in grado di dimostrare autonomamente risultati che discendano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.TStudents attain a detailed knowledge of the foundations of the theory of probability and related topics in measure theory. They attain good ability in probabilistic problem solving being able to deal both with theoretical and applied problems related with conditional expectation, convergence features, characteristic functions and martingales.
They become able to prove new results related with the studied theory, furthermore they become able to learn using different textbooks.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Il corso comprende 72 ore di lezioni di cui 16 ore sono di esercitazioni.There will be 72 hours of lessons, including 16 hours of in class exercises.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto . La prova scritta richiede la soluzione di due esercizi e il superarla è requisito indispensabile per essere ammessi alla prova orale. La prova orale comprende una discussione sulla prova scritta e la risposta a due domande estratte a caso dallo studente. Durante la prova scritta si po' consultare il libro di testo.Final exam includes written and an oral tests. The two tests are scheduled on different dates. Written test hold untill the next oral exam. Written test requests the solution of two exercises and is mandatory to pass this test to be admitted to the oral test.The oral examination includes a discussion on the written test as well as the answer to two question, taken at random by the student. Students can use textbook during the written test- Oggetto:
Attività di supporto
Il corso prevede lezioni ed esercitazioni. Durante il corso viene suggerita la soluzione di esercizi assegnatiThe course include exercises classes and extra exercises are suggested as homework- Oggetto:
Programma
Richiami di calcolo delle probabilità; costruzione di misure di probabilità su R e variabili aleatorie; integrazione rispetto a misure di probabilità; variabili aleatorie indipendenti; distribuzioni su R^n; somme di variabili aleatorie; leggi 0-1; Convergenza di variabili aleatorie; Convergenza debole e funzioni caratteristiche; leggi dei grandi numeri e teorema del limite Centrale (richiami); attese condizionate; martingale a tempo discreto, optional stopping e scomposizione di Doob;diseguaglianze di martingala; proprietà di convergenza per Martingale a tempo discreto; cenni relativi a martingale a tempo continuo.Overview of elementary probability. Construction of probability measures on R and random variables. Integrals over probability measures. Independent random variables. Distributions on Rn. Sums of random variables. 0-1 Laws. Convergence of sequences of random variables. Weak convergence and characteristic functions. Laws of large numbers and central limit theorem. Conditional expectations. Discrete time martingales, optional stopping , Doob decomposition and martingale inequalities. Convergence properties of discrete time martingales. Introduction to continuous time martingales.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro di testo:
Cinlar Probability and Stochastics Springer
Ulteriori letture suggerite:
-Williams, Probability with Martingales;
-Shiryaev, Probability;
-Billingsey Probability and Measure; Feller Introduction to Probability Theory and Applications.
-Varadhan Probability Theory. AMS
-Jacod - Protter, Essentials in ProbabilityPer l'argomento Variabili Aleatorie Gaussiane e Sistemi Gaussiani si vedano anche i files disponibili nel materiale didattico del corso
Textbook:
Cinlar Probability and Stochastics Springer
Further suggested books:
-Williams, Probability with Martingales;
-Shiryaev, Probability;
-Billingsey Probability and Measure; Feller Introduction to Probability Theory and Applications.
-Varadhan Probability Theory. AMS
-Jacod - Protter, Essentials in ProbabilitySome materials on Gaussian random variables can be downloaded from the webpage of the course.
- Oggetto:
Orario lezioni
- Oggetto:
Note
Modalità di verifica/esame: Esame scritto e orale congiunto.
- Oggetto:
