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Oggetto:
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Equazioni Differenziali e Analisi Non Lineare

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DIFFERENTIAL EQUATIONS AND NONLINEAR ANALYSIS

Oggetto:

Anno accademico 2023/2024

Codice dell'attività didattica
MAT0239
Docenti
Anna Capietto (Titolare)
Alessandro Portaluri (Titolare)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Inglese
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
I contenuti di Geometria 2. Si deve aver seguito Istituzioni di Analisi Matematica. È fortemente consigliato (ma non indispensabile) aver seguito (o prevedere di seguire) Analisi Superiore (6cfu)
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire alcuni metodi avanzati di analisi non lineare utili per risolvere problemi di natura geometrica e fisico-matematica di grande interesse formulati nel linguaggio delle equazioni differenziali ordinarie.

L'insegnamento si inserisce naturalmente nel campo dell' Analisi globale espressione ultima dell'interazione tra analisi, geometria e topologia algebrica.

Ogni sezione sarà accompagnata da numerosi esempi, applicazioni e problemi ancora da risolvere.

 

The aim of the course is to introduce some advanced methods from nonlinear analysis that plays a major role in the solutions of several deep problems arising in mathematical physics and geometry and formulated by means of ordinary differential equations.

Shortly, this course is a standard course in global nonlinear analysis which is the bridge between analysis, geometry as well as  algebraic topology.

In each section several examples, applications and open problems will be discussed

 

 

 

 

 

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenze della teoria del grado in dimensione finita e infinita. Conoscenza della teoria dei punti critici, in particolare la teoria delle categorie di Lusternik-Schnirelmann e la teoria di Morse. Capacità di individuare un appropriato setting funzionale per provare l'esistenza e la molteplicità di soluzioni di problemi ai limiti associate ad alcune classi di equazioni differenziali (non)lineari.

 

Knowledge of the Brouwer and Leray-Schauder degree. Knowledge of the advanced critical point theory, in particular the category of  Lusternik-Schnirelmann  as well as the Morse theory. Ability to find a suitable functional setting for proving  the existence and the multiplicity for some classes of boundary value problems associated to (non)linear ordinary differential equations.

 

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico.

La frequenza è facoltativa ma consigliata.

 

The course consists of 48 hours of lectures. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar.

 

Attendance is recommended but not compulsory.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame è una prova orale consistente nell’esposizione di argomenti richiesti dal docente tra quelli elencati nel programma dal punto 1 al 4 e di un seminario della durata di 20 minuti più 5 di domande. Il seminario è scelto da una lista proposta dal docente durante lo svolgimento dell'insegnamento. Gli studenti e le studentesse che hanno seguito l'insegnamento in anni accademici precedenti il 2023-24 possono sostenere la prova d'esame con il programma dell'anno in cui hanno seguito (segnalando tale intenzione ai docenti al momento dell'iscrizione all'esame).

È possibile sostenere l'esame in inglese. Il voto è espresso in trentesimi.

Su richiesta dello/a studente/ssa la prova orale potrà essere sostituita da un seminario della durata di 45 minuti più 15 minuti di domande.

 

 

The exam is an oral test, in which the candidate is asked to present some topic chosen by the teachers  among those ones listed in the programme between items 1 up to 4 and a 30 minutes seminar + 15 minutes questions. The seminar is chosen by each student on a list of projects provided by the teacher during the course.   Students  who attended this course in  a different  academic year may chose to  atted the exam about the corresponding program up to inform the committee at the subscription time.

It is possible to attend the exam in English. The score is expressed out of 30.

Up to the student, it is possible to replace the oral text with a 45 minutes talk + 15 minutes questions about a topic chosen by the student from  a list provided by the teachers.

 

 

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Programma

1) Teoria spettrale elementare. Problemi ai limiti associati a equazioni differenziali del secondo ordine. Alternativa di Fredholm [Ha], [Ne]. 

2) Problemi ai limiti periodici e teoremi di Sturm [CL], [Ha]

3)  Teoria del grado topologico in dimensione finita e applicazioni a problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine [Am, Bo1, Ll] 

4) Teoria del grado di Leray-Schauder e applicazioni a problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine [Am, Bo2, De]

5) Introduzione alla geometria simplettica. Varietà Lagrangiana Grassmanniana [Ar, Abbo]

6) Proprietà topologiche e differenziali della Lagrangian Grassmannian. Indice di Maslov  e teoremi di Sturm in geometria simplettica [Ar, Abbo]

7) Operatori Fredholm limitati e non-limitati. Flusso spettrale nel caso autoaggiunto [Ka, GGK]

8) Introduzione all teoria spettrale per operatori differenziali ordinari [Ka, We, Ze]

 

 

 



1) Elementary spectral theory. Linear boundary value problems associated to second order ODE. Fredholm alternative [Ha],[Ne]. Pr\"ufer change of variables [PSV].

2) Periodic boundary value problema and Sturm theorems [CL], [Ha].

3. Topological deree theory in finite dimension and applications to boundary value problems [Am, Bo1, Ll]

4) Leray-Schauder degree theory and applications [Am, Bo2, De]

5) Preliminaries of symplectic geometry. Lagrangian Grassmannian manifold  [Abbo, Ar]

6) Maslov index for paths of Lagrangian subspaces and Sturm theorems in symplectic geometry

7) Intermezzo on Fredholm operators and spectral flow in the self-adjoint case [Ka]

8) Introduction to spectral theory for ordinary differential operators [Ka, We, Ze]

 

 

 

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
[Am] Topological Methods in the Study of Boundary Value Problems
Anno pubblicazione:  
2013
Editore:  
Springer
Autore:  
Amster, Pablo
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
[CL] Theory of ordinary differential equations
Anno pubblicazione:  
1984
Editore:  
McGraw Hill
Autore:  
Coddington, Earl A.; Levinson, Norman
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
[De] Nonlinear Functional Analysis
Anno pubblicazione:  
2010
Editore:  
Dover Pubns
Autore:  
Deimling, Klaus
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
[Ll] Degree theory
Anno pubblicazione:  
1978
Editore:  
‎ Cambridge University Press
Autore:  
Lloyd, Noel G.
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
[PSV] Equazioni differenziali ordinarie in R^N (problemi e metodi)
Anno pubblicazione:  
1978
Editore:  
Liguori
Autore:  
Piccinini, Livio C.; Stampacchia, Guido; Vidossich Giovanni
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
[Ar] Metodi matematica della meccanica classica
Anno pubblicazione:  
2010
Editore:  
Editori Riuniti Univ. Press
Autore:  
V.I. Arnold
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
[Abbo] Morse theory for Hamiltonian systems
Anno pubblicazione:  
2001
Editore:  
Chapman
Autore:  
Alberto Abbondandolo
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

 

[Bo1] Boscaggin: Teoria del grado topologico in dimensione finita e appicazioni, Tesi di laurea triennale. Si veda la pagina moodle del corso.

[Bo2] Boscaggin: Biforcazione globale e invarianti topologici per problemi ai limiti nonlineari, Tesi di laurea magistrale, Cap. 1. Si veda la pagina moodle del corso.

[Ha] Habets: Equations différentielles: problèmes aux limites et théorie hilbertienne, dispense. Si veda la pagina moodle del corso.

[Ne] Negro, Quaderno di Analisi Funzionale, dispensa. Si veda la pagina moodle del corso.

 

[Bo1] Boscaggin: Teoria del grado topologico in dimensione finita e appicazioni, Tesi di laurea triennale. See the moodle page of the course.

[Bo2] Boscaggin: Biforcazione globale e invarianti topologici per problemi ai limiti nonlineari, Tesi di laurea magistrale, Cap. 1.See the moodle page of the course.

[Ha] Habets: Equations différentielles: problèmes aux limites et théorie hilbertienne, lecture notes. See the moodle page of the course.

[Ne] Negro, Quaderno di Analisi Funzionale, lecture notes. See the moodle page of the course.

 



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Orario lezioni

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Note

 

ORARIO DI RICEVIMENTO: Contattare via e-mail  i docenti.

Eventuali studenti della LT 509 dovranno concordare un programma corrispondente a 7 crediti.

Tutoring: Please, send an email to alessandro.portaluri@unito.it, anna.capietto@unito.it 

Students enrolled in LT 509 must contact the teachers in order to discuss a program corresponding to 7 CFU

 

  

  

 

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Ultimo aggiornamento: 23/01/2024 12:05

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