Laurea magistrale in Matematica

Il corso si propone di fornire agli studenti  alcuni metodi e risultati utili nello studio delle equazioni differenziali nonlineari. Tali metodi sono illustrati con numerosi esempi.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione. Il corso, rivisitando anche argomenti di base, come quello di derivata, a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). I testi utilizzati permettono di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso fornisce conoscenze matematiche specialistiche (obiettivo 5) che rappresentano uno strumento fondamentale per l'avviamento alla ricerca nell'ambito dell'Analisi Matematica (obiettivo 9).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione.  Il corso, introducendo nuovi e importanti concetti, accresce la capacità dello studente di riconoscere nuovi problemi in nuovi contesti (obiettivo 1) e di comprendere nuovi problemi riconoscendone gli aspetti essenziali (obiettivo 2). Ovviamente, essendo un corso basato su dimostrazioni di teoremi, accresce la capacità dello studente di sostenere ragionamenti matematici (obiettivo 3), di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici non immediatamente collegabili a quelli già conosciuti (obiettivo 5), di formulare e risolvere problemi anche complessi in diversi campi della matematica (obiettivo 6), di formulare problemi complessi ottimizzandone la soluzione e interpretandola nel contesto del problema originale (obiettivo 9).

Autonomia di giudizio. La natura del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l'importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l'incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). I suggerimenti sugli sviluppi successivi degli argomenti trattati  favoriranno l'iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche (obiettivo 7).

Abilità comunicative.  L'esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità matematica rigorosa, utile per studi di livello superiore (obiettivo 2).

Saper discutere l'esistenza di soluzioni di problemi ai limiti associati a equazioni differenziali nonlineari.

Orale

Prova orale. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese (e altre lingue, se conosciute). 

1) Teoria spettrale elementare. Problemi ai limiti associati a equazioni differenziali del secondo ordine. Alternativa di Fredholm ([Ha],[Ne]). Il cambiamento di variabili di Pr\"ufer ([PSV]).

2) Applicazioni del teorema delle contrazioni a problemi ai limiti nonlineari. Teorema del punto fisso di Schauder e applicazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]). 

3) Calcolo differenziale in spazi di Banach. Teorema della funzione implicita in spazi di Banach e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP],[CH],[Da]). 

4) Introduzione alla teoria della biforcazione; condizioni necessarie e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP],[KF]).  

5) La riduzione di Liapunov-Schdmidt [Ha].

6) Alternativa di Fredholm in spazi di Banach [Br].

7) Introduzione al grado topologico in dimensione finita e in spazi di Banach [Ll,De].

EQUAZIONI DIFFERENZIALI E ANALISI NON LINEARE, MFN1650, (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, TAF C (Affine), Ambito attività affini o integrative.

PROPEDEUTICITA': E' indispensabile conoscere i contenuti dei corsi di Geometria 2 (LT) e di Istituzioni di Analisi Matematica. Gli argomenti di questo corso sono differenti da quelli del corso "Equazioni Differenziali" (Laurea Triennale) e non vi è propedeuticità.

ORARIO DI RICEVIMENTO: contattare per mail o telefono la docente.

Alla pagina moodle del corso (a.a. 2011-2012) (al link http://math.i-learn.unito.it/enrol/index.php?id=257) sono disponibili i files pdf delle lezioni ed i relativi files mp3 del corso tenuto nell'a.a. 2011-2012 (i contenuti sono parzialmente gli stessi dell'a.a. 2017-18).

Eventuali studenti della LT 509 dovranno concordare un programma corrispondente a 7 crediti.