Laurea magistrale in Matematica

Conoscenze di base su: geometria proiettiva, curve e superficie differenziali, funzioni reali di piu' variabili.

L’allievo dovra’ essere in grado di padroneggiare le piu’ importanti tecniche geometriche per lo studio delle varieta’ algebriche e differenziali e di conoscere i principali esempi di tali enti geometrici.

 

 Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati di base riguardanti la geometria algebrica e la geometria differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari da un punto di vista più generale e necessariamente astratto, offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico. La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti insettori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata. Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi, per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti.

 I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e
la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel
corso.

 L'organizzazione del corso, mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di
risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede
agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole
con un sforzo nel riconoscere in una situazione "nota" le proprietà
essenziali su cui fondare una proficua generalizzazione. La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la
risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono
l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo.

 I testi suggeriti per il corso sono in inglese, abituando gli studenti all’uso di lingue diverse dall'italiano. L’esame, che è principalmente una discussione sui temi proposti, costringe lo studente ad esprimersi in
modo matematicamente corretto.

 Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di
lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità
di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non
direttamente collegati alla matematica.

 

Teoria generale delle varieta’ differenziali e algebriche.

 L'esame consiste in una prova scritta  e orale in cui verranno proposti  esercizi,  verrà richiesta la conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi e delle loro dimostrazioni ed applicazioni e di saper risolvere degli esercizi.  Il voto finale sarà espresso in trentesimi.  

Esame scritto e orale.

Basi di Groebner.

 Curve algebriche piane.

 Elementi di algebra commutativa.

Varietà algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali.

Varietà differenziabili. Partizione dell'unità. Vettori tangenti e spazio tangente. Differenziale tra applicazioni differenziabili tra varietà. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati vettoriali. Sottovarietà e teorema della funzione inversa. Teoremi della funzione implicita. Campi vettoriali e bracket di Lie. Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno.

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

D. A. Cox, J. Little, D. Oshea, An introduction to Computattional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989.