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Istituzioni di Geometria

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Elements of Advanced Geometry

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Anno accademico 2020/2021

Codice attività didattica
MFN0517
Docenti
Prof. Luigi Vezzoni (Titolare del corso)
Prof. Cinzia Casagrande (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Conoscenze di base su: geometria proiettiva, curve e superficie differenziali, funzioni reali di piu' variabili.
Basic notions on projective geometry, differential curves and surfaces, real functions in several variables.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati di base riguardanti la geometria algebrica e la geometria differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari da un punto di vista più generale e necessariamente astratto, offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico. La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata. Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi, per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti.
I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso.
Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica.

The course will give the basic notions on algebraic and differential geometry which require a deep knowledge of concepts and elementary notions from a general and more abstract point of view, offering also in this way an Important example of the methods and the development of mathematical thinking. The knowledge of these concepts is indispensable to motivate latest developments in interdisciplinary topics with respect to sectors of pure mathematics that are currently the subject of advanced research. Some notes about some specific topics will be provided and some text books will be suggested for further studies to induce students to a further personal study of the topics.
The problems and exercises that are proposed periodically aim to improve understanding and the knowledge of the topics.
The work required for this course is necessary for post graduated studies in the field. The type of work will be still useful to develop a flexibility in ,many types of jobs, not even directly related to mathematics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Alla fine del corso gli studenti avranno acquisito familiarità con alcuni concetti di base della geometria differenziale tra cui: teoria dei base delle varietà differenziabile, fibrazioni, sottovarietà, forme differenziali e tensori.

Alla fine del corso gli studenti avranno acquisito familiarità con i concetti di varietà affine e proiettiva, e con i primi esempi fondamentali: mappe di Veronese e di Segre, in particolare in dimensioni basse; proiezioni; geometria proiettiva; spazi dei parametri.

At the end of the course, the students will have become acquainted with some basic concepts of Differential Geometry, such as: general theory of differentiable manifolds, submanifolds, fibrations, differential forms, tensors. 

At the end of the course, the students will have become acquainted with the concepts of affine and projective variety, and with the first fundamental examples: Veronese map and Segre map, in particular in low dimension; projections; projective geometry; parameter spaces.

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Programma

Introduzione alle varieta' algebriche reali e complesse, affini e proiettive. Curve piane e ipersuperfici. Nullstellensatz.

Varietà differenziabili. Partizione dell'unità. Vettori tangenti e spazio tangente. Differenziale tra applicazioni differenziabili tra varietà. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati vettoriali.   Varietà parallelizabili. Applicazioni differenziabili di rango costante. Sottovarietà embedded  e teorema della funzione inversa. Teoremi della funzione implicita. Campi vettoriali e bracket di Lie. Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno e coomologia di de Rham.   Teorema di Stokes. Metriche Riemanniane.  Integrazione su varietà Riemanniane.

Introduction to real and complex algebraic varieties, in the affine and projective case. Plane curves and hypersurfaces. Nullstellensatz.

Differential manifolds. Partition of unity. Tangent vectors and tangent space. Differential of a smooth map between manifolds. Tangent and cotangent bundle. Vector bundles.  Parallelizable manifolds.  Maps of constant rank. Embedded submanifolds and inverse function theorem. Implicit function theorems. Vector fields and bracket. Tensorial algebra and differential forms. Exterior differential and de rham Cohomology. Stokes Theorem. Riemannian metrics.  Integration on Riemannian manifolds.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale, in lezioni svolte alla lavagna, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi.
The course consists of 72 hours of lectures held at the blackboard.  Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

 Esame: modalità di svolgimento dell’esame in periodo di emergenza sanitaria Covid-19:

  • L’esame consisterà in una prova orale, gli studenti dovranno iscriversi su Esse3.

  • L’esame sarà svolto tramite collegamento Webex. Il candidato dovrà esporre le risposte scrivendo su un foglio che verrà ripreso tramite webcam. 

  • Durante l’esame il candidato dovrà essere completamente solo nella stanza e non potrà consultare alcun tipo di testo o utilizzare alcuna apparecchiatura elettronica, salvo quelle richieste per lo svolgimento della prova stessa e autorizzate dalla Commissione d’esame.

  • In caso di caduta della connessione, per qualsiasi ragione, o altra interruzione anche accidentale, per un tempo giudicato eccessivo dalla Commissione, l’esame potrà essere rinviato in un giorno successivo.

  • Eventuali gravi e comprovati motivi che impediscono la partecipazione alla prova devono essere comunicati tempestivamente al docente del corso.

  • Il voto finale dell’esame verrà comunicato al candidato tramite la bacheca esami, il candidato avrà 5 giorni di tempo per un eventuale rifiuto. A questo riguardo vale il principio del silenzio/ assenso: in assenza di rifiuto del voto sulla bacheca esami e comunicazione via mail ai docenti, con conferma di ricezione da parte di questi ultimi, il voto proposto verrà automaticamente registrato sul libretto elettronico.

  • Se necessario altre informazioni tecniche verranno comunicate direttamente agli iscritti. Per tutto quanto non specificato sopra valgono le regole ordinarie dell’esame già pubblicate sulla pagina Moodle del corso.

  • Il consenso dello studente allo svolgimento in forma digitale dell’esame, con le regole esposte sopra, è acquisito implicitamente al momento dell’iscrizione all’appello.

  • Gli studenti degli anni accademici precedenti al 18/19, che intendano sostenere l'esame sul programma di tali anni, devono comunicarlo ai docenti almeno due settimane prima dell'appello d'esame.

 

Examination procedure (during the emergency COVID-19). The examination is oral and will be performed via Webex. The candidate has to be alone in the room and he can't consult any book and using elettronic devices. The answers has to be explained with a written exposition and the candidate has to stream what he writes by using a webcam. 

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Testi consigliati e bibliografia

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

W. Fulton, Algebraic Curves

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.

K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000.

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

W. Fulton, Algebraic Curves

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.

K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000.

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Note

Per maggiori informazioni si rimanda alla pagina moodle del corso.

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Corsi che mutuano questo insegnamento

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Orario lezioniV

Registrazione
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    Ultimo aggiornamento: 28/07/2020 10:44

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